بهینه سازی انرژی حالت پایه کوانتومی متناظر با مسائل مقدار ویژه غیرخطی روی کلاس تجدید آرایش ها

تعداد قابل توجهی از مسائل ارزشمند علوم و مهندسی قابل بیان به شکل یک مساله بهینه سازی روی دسته تجدید آرایش های یک تابع هستند. چنان که می دانیم مقادیر ویژه بسیاری از معادلات دیفرانسیل پاره ای دارای تعبیر فیزیکی خاصی هستند. بهینه سازی این مقادیر ویژه روی دسته تجدید آرایش های یک تابع مفروض، پاسخ برخی از مسائل مهم فیزیکی است. در این رساله به دنبال مدل سازی یک مساله فیزیکی به صورت یک مساله بهینه سازی روی دسته تجدید آرایش های یک تابع، متناظر با یک مساله مقدار ویژه هستیم. برای پاسخ به مساله فیزیکی، وجود و یکتایی جواب ها و خواص ریاضی و فیزیکی آن ها مورد بررسی قرار خواهند گرفت. به عنوان نمونه حالت های انرژی در یک نقطه کوانتومی در مقیاس نانو توسط معادله شرودینگر مربوطه مدل سازی می شود. در بعضی حالات معادله شرودینگر حاکم بر ساختار کوانتومی به صورت غیر خطی به مقدار ویژه که همان انرژی ذره است، وابسته می باشد. در این مورد، وجود نقطه کوانتومی با اندازه ثابت و ماده همسان چنان که انرژی حالت پایه کمینه گردد، منجر به بررسی وجود جواب یک مساله بهینه سازی روی دسته تجدید آرایش های یک تابع می شود. وجود جواب برای چنین مساله ای ثابت می شود. همچنین یکتایی جواب و خواص هندسی جواب در حالتی که دامنه مساله یک گوی است بررسی می گردد.